Prozentrechnung

Du willst einen Prozentwert berechnen?

Ich erkläre dir das gerne am Beispiel von Fisch-Spa (ja, du hast richtig gelesen):

Bei dieser Behandlungsmethode tauchen Leute ihre Füsse in ein Aquarium und die Fische knabbern die erkrankten Hautpartien ab. In einem Aquarium befinden sich 280 Fische. 80% dieser Fische knabbern an den Füssen einer Patientin. Wie viele Fische sind das?

In dieser Aufgabe musst du den Prozentwert berechnen. Ich zeige dir hier 4 mögliche Lösungswege:

1. Die Berechnung mit Hilfe der Prozentformeln
2. Das schlaue Anwenden des Wortes „von„
3. Das Lösen mit einem einfachen Dreisatz
4. Du willst nichts verstehen und verwendest unseren Online Prozentrechner

Falls du eine grundlegende Einführung in das Thema Prozentrechnung brauchst, empfehle ich dir den Artikel: Prozentrechnung – Die Grundlagen im Prozentrechnen einfach erklärt

Bevor wir die Aufgabe lösen, wollen wir noch ein paar Begriff klären:

Merke dir:

Das Wort “Prozent” heisst übersetzt pro 100. Ein Prozentsatz von 80% bedeutet das gleiche wie 80 pro hundert, resp. 80 Hundertstel. Das ist gleich viel wie 80:100 oder als Dezimalzahl ausgedrückt: 80% ist dasselbe wie 0.8.

Unterscheide:

Unterscheide den Prozentsatz p% gut von der Prozentzahl p. Die Prozentzahl p bezeichnet nur den Zahlenwert (bei 80% ist das die Zahl 80). Beim Prozentsatz p% muss die Prozentzahl immer durch 100 geteilt werden (80% = 0.8).  Der Prozentsatz p% entspricht einer Dezimalzahl!

1. Prozentwert berechnen mit der Formel

Mit diesen Vorbemerkungen können wir die Formel für den Prozentwert auf zwei Arten aufschreiben. Ausgedrückt mit der Prozentzahl p:

oder direkt mit dem Prozentsatz p%:

2. Schlaues Anwenden des Wortes „von“

Das Wörtchen „von“ hat in der Mathematik immer die folgende Bedeutung:

Das Wörtchen „von“ bedeutet in einem mathematischen Zusammenhang immer eine Multiplikation!

80% von 280 rechnest  du demnach folgendermassen aus: 0.8 · 280 = 224

Im Grunde genommen ist das nichts anderes wie die Formel für den Prozentwert.

3. Lösung mit einem einfachen Dreisatz

Die Lösung mit einem Dreisatz funktioniert folgendermassen:

Hundert Prozent entsprechen immer der Gesamtheit. Es gilt also:

Weil wir an 80 % interessiert sind, rechnen wir beide Seiten mal 80:

4. Online-Prozentrechner verwenden

Formeln und Dreisätze willst du nicht? Dann hilft dir unser Online-Prozentrechner. Tippe die Prozentzahl und den Grundwert ein und der Prozentwert wird für dich berechnet

Alles klar?

Dann versuche das folgende Beispiel zu lösen. Verwende dazu einen der oben beschriebenen Lösungswege.

Beispiel:

In einer Studie aus dem Jahr 2018 wurden in Deutschland 1200 Jugendliche (12 bis 19 Jahre) gefragt, welche Medien sie mehrmals täglich nutzen. 92% gaben an, dass sie täglich das Internet brauchen, 42% sagten, dass sie täglich fernsehen und 19% gaben an, dass sie jeden Tag in einem Buch lesen. Berechne zu diesen Prozentangaben jeweils die Anzahl der Jugendlichen.

Lösung:

Gesucht ist jeweils der Prozentwert W. Die Grundmenge G sind die 1’200 befragten Jugendlichen. 92% davon sind tägliche Internetnutzer, also W = 0.92 · 1’200 = 1’104. 42% schauen täglich fern. Das sind W = 0.42 · 1’200 = 504. Nur 19% geben an, dass sie täglich ein Buch lesen. Das sind W = 0.19 · 1’200 = 228.

Prozent in Bruch und Bruch in Prozent umrechnen.

Das ist so etwas wie der geheime Tipp der Profis!

Die Idee, dass man eine Prozentangabe als Bruch ausdrücken kann, erleichtert das Prozentrechnen bei vielen Aufgaben und Anwendungen deutlich. Die Überlegung dahinter ist einfach. Nachdem ich dir erklärt habe, wie das genau funktioniert, wirst du ganz leicht die folgende Aufgabe lösen können:

Wie viel sind 75% von 12?

Selbstverständlich kannst du diese Aufgabe mit der Prozentformel oder einem Dreisatz lösen. Ein „Profi“ im Prozentrechnen löst diese Aufgabe ganz anders in nur 2 Sekunden. Und so geht es:

Merke dir:

Jede Prozentangabe, d.h. jeder Prozentsatz entspricht einem Zahlenverhältnis. 75% bedeutet 75 pro Hundert. Das ist das gleiche wie 75 Hundertstel oder 75 geteilt durch 100.

Der Prozentsatz p% lässt sich deshalb immer(!) als Bruch schreiben: $$\textrm{75%}=\frac{\textrm{75}}{\textrm{100}}$$

Merke dir weiter:

Brüche lassen sich (unter Umständen) kürzen. Kürze den als Bruch dargestellten Prozentsatz so weit wie möglich.

Nehmen wir zur Illustration wieder die 75%. Den Bruch kann man mit 25 kürzen, d.h. du teilst den Zähler und Nenner des Bruchs durch die Zahl 25: $$\frac{\textrm{75}}{\textrm{100}}=\frac{\textrm{3}}{\textrm{4}}$$ 75% ist genau das gleiche wie [latex]\frac{3}{4}[/latex].

Wie löst du mit diesem Wissen die Aufgabe? 75% von 12 ist das gleiche wie [latex]\frac{3}{4}[/latex] von 12. Dreiviertel von 12 berechnest du durch Multiplikation des Bruches mit dem Grundwert:

[latex]\frac{3}{4}\cdot 12=9[/latex]

Diese Rechnung kannst du leicht im Kopf nachvollziehen: Du teilst 12 durch 4 (gibt 3) und multiplizierst mit 3. Das ergibt als Resultat 9.

Prozent in Bruch: Ein weiteres Beispiel

Mit dem eben Gelernten kannst du die folgenden Aufgaben lösen:

1. Wie viel ist 25% von 80?
2. Was gibt 20% von 50?
3. Was ist 12.5% von 16?

Alle Prozentangaben lassen sich leicht als Bruch darstellen.

Aufgabe 1: 25% ist dasselbe wie [latex]{\sf {\small \frac{25}{100}=\frac{1}{4}}}[/latex]
[latex]{\sf {\small \frac{1}{4}\cdot 80=20}}[/latex] (du rechnest im Kopf: 80 geteilt durch 4 gibt 20)

Aufgabe 2: 20% gibt als Bruch dargestellt:  [latex]{\sf {\small \frac{20}{100}=\frac{1}{5}}}[/latex]
[latex]{\sf {\small \frac{1}{5}\cdot 50=10}}[/latex] (du rechnest im Kopf: 50 geteilt durch 5 ergibt 10)

Aufgabe 3: 12.5% ist dasselbe wie [latex]\frac{12.5}{100}=\frac{1}{8}[/latex]
[latex]{\sf {\small \frac{1}{8}\cdot 16=2}}[/latex] (du rechnest im Kopf: 16 geteilt durch 8)

Wo liegt der „Knackpunkt“ bei dieser Methode?

Vermutlich ist es die Umrechnung von Prozent in Bruch. Das ist nicht immer ganz leicht. Woher sollst du wissen, dass 12.5% das gleiche ist wie 1/8?

Wenn du das Bruchrechnen gut beherrschst, dann kannst du diese Umrechnung durch Kürzen des Bruchs selber nachvollziehen. Viel praktischer ist es aber, wenn du die wichtigsten Prozentangaben und ihre Bruchdarstellung auswendig kennst. Ich habe dir deshalb die folgende Tabelle zur Umrechnung „Prozent in Bruch“ und „Bruch in Prozent“ erstellt. Du kannst die ausführliche Tabelle weiter unten auch als pdf herunterladen:

Du willst das üben?

Berechne mit dieser „Prozent in Bruch“-Methode die folgenden Aufgaben:

1. Wie viel ist 5% von 70?
2. Was gibt 12.5% von 420?
3. 75% von insgesamt 24 Leuten sind krank. Wie viele fehlen?
4. 80% der 125 Insassen einer Anstalt trinken Kaffee. Wie viele sind das?
5. Was sind 2% von 150?

Du findest zu diesen fünf Aufgaben keine Lösung hier im Artikel. Kontrollieren, ob du richtig gerechnet hast, kannst du entweder mit meinem Online Prozentrechner oder du liest den Artikel Prozentrechnung – Die Grundlagen im Prozentrechnen einfach erklärtund berechnest die Lösungen auf herkömmliche Weise mit den Prozentformeln.

Willst du die ausführliche Tabelle mit den Prozentangaben und Brüchen herunterladen? Dann hol dir hier das pdf:

Prozent in Bruch umrechnen

Mit diesem Trick der Profis geht Prozentrechnen in vielen Fällen ganz leicht. Damit du Prozente in Brüche und Brüche in Prozente umwandeln kannst, solltest du diese Tabelle mit den wichtigsten Prozentgrössen herunterladen. Lerne die Prozentwerte und die dazugehörige Bruchform auswendig.

Im Download findest du:

• Die Tabelle mit den wichtigsten Umrechnungs-Werten als pdf

Falls du nicht weisst, wie du diese Tabelle anwenden sollst, lies doch den Artikel Der Trick der Profis – Bruch in Prozent und Prozent in Bruch umrechnen

Größe: 54 kB

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Wie gut bist du im Prozent ausrechnen?

Beantworte die folgenden Testfragen und ich sage dir, wo du noch Lücken und Übungsbedarf hast! Versuche alle Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen. Die Zahlen sind so gewählt, dass das problemlos möglich sein sollte.

10’000 mal Prozentsatz berechnen!

So viele Personen suchen jeden Monat bei Google Hilfe zur Berechnung des Prozentsatzes.

Dir und all den anderen möchte ich hier erklären, was ein Prozentsatz überhaupt ist und wie du diesen leicht berechnen kannst. Möchtest du das ganze Gebiet der Prozentrechnung besser verstehen, solltest du unbedingt den ausführlichen Artikel Prozentrechnung – Die Grundlagen im Prozentrechnen einfach erklärt lesen.

Meine Erfahrung als Mathematik- und Physiklehrperson hat gezeigt, dass es immer einfacher ist, am konkreten Beispiel zu lernen. Hier also die folgende interessante Frage:

Eisberge schwimmen im Wasser. Dabei befindet sich der grösste Teil der Eismasse unter Wasser und nur ein kleiner Teil ragt über der Wasseroberfläche heraus. Von einem solchen Eisberg wissen wir, dass er ein gesamtes Volumen von 1800 m³ hat. Das Volumen unter der Wasseroberfläche ist 1602 m³. Wie viel Prozent des Eisbergs befindet sich unter Wasser? 

Gesucht in der Aufgabe ist der Prozentsatz. Ich zeige dir im Folgenden, wie du den gesuchten Prozentsatz auf 4 verschiedene Arten berechnen kannst:

1. Berechnen mit den Prozentformeln
2. Die Lösung mit einem Dreisatz
3. Der geniale Weg mit einem Bruch
4. Mit Hilfe meines Online Prozentrechners

Aber bevor wir drauf los rechnen, klären wir ein paar Begriffe.

Begriffsklärung

Es herrscht nämlich allgemeine Verwirrung, wenn es um die Begriffe Prozentsatz, Prozentzahl und Prozentfuss geht.

Merke dir:

Genau genommen ist der Prozentsatz p% eine Dezimalzahl. Weshalb? Der Begriff “Prozent” stammt aus dem Lateinischen und bedeutet “pro Hundert”. Jedes Prozentzeichen “%” lässt sich ersetzen mit den Worten “pro Hundert” was gleichbedeutend ist mit einer Division durch 100. 1% ist demnach dasselbe wie 1 pro Hundert oder eben 1:100 (Ein Hundertstel) was gleich viel ist wie 0.01.

Ein paar Beispiele verdeutlichen das:

30% sind 30 pro 100, resp. 30:100. 30% steht also für die Dezimalzahl 0.3
100% sind 100 pro 100 oder eben 100:100=1. 100% steht für die Zahl 1.
25% sind 25 pro 100. Das ergibt ausgerechnet 25:100 oder 0.25.

Meint man bei einer Angabe von 25% wirklich nur die Zahl “25”, spricht man von der sog. Prozentzahl p (ohne das Prozentzeichen) oder dem sog. Prozentfuss. Wenn du also die Prozentzahl in einer Aufgabe berechnen möchtest, musst du den Prozentsatz noch mit 100 multiplizieren.

 Lass uns jetzt den Prozentsatz berechnen:

1. Prozentsatz berechnen mit der Formel

Um den Prozentsatz zu bestimmen, rechnest du den Prozentwert W geteilt durch den Grundwert G. Bei dieser Rechnung bekommst du als Resultat eine Dezimalzahl:

oder direkt die Prozentzahl p:

Für unsere Eisberg-Aufgabe bedeutet das: Das gesamte Eisbergvolumen entspricht dem Grundwert. Es ist also G = 1800 m³. Das Volumen unter Wasser ist der Prozentwert. Es ist W = 1602 m³.

Mit der Formel rechnest du: [latex]{\sf p\% = \frac{\textrm{W}}{\textrm{G}}=\frac{1602}{1800}}=\textrm{0.89}[/latex]. 

Der Prozentsatz beträgt 89%. So viel Prozent des Eisbergs befinden sich unter Wasser!

2. Prozentsatz ausrechnen mit einem Dreisatz

Mit dem Dreisatz überlegst du dir folgendes:

Hundert Prozent entsprechen dem Gesamtvolumen von 1800 m^3:

[latex]{\sf {\textrm{100%}\quad \hat{=}\quad\textrm{1800 m}^3}}[/latex]

Wenn du auf beiden Seiten durch 1800 teilst, bekommst du die Prozentzahl, die einem Volumen von 1 m³ entspricht. Erklärung: 1 m³ ist 1800 mal weniger als das Gesamtvolumen. Das gleiche gilt für die Prozentzahl. Diese ist ebenfalls 1800 mal kleiner als 100%:

[latex]{\sf {\frac{\textrm{100}}{\textrm{1800}}\% \quad \hat{=}\quad\textrm{1 m}^3}}[/latex]

ausgerechnet gibt das:

[latex]{\sf {\textrm{0.05556%}\quad \hat{=}\quad\textrm{1 m}^3}}[/latex]

Weil du wissen willst, wie viel 1602 m³ ist, multiplizierst du beide Seiten mit 1602 und bekommst:

[latex]{\sf {\textrm{89%}\quad \hat{=}\quad\textrm{1602 m}^3}}[/latex]

Auch mit der Dreisatzrechnung findest du heraus, dass das Volumen unter Wasser 89% entspricht.

3. Prozentsatz berechnen mit einem Bruch

Lass mich ein ganz einfaches Beispiel machen: In einer Gruppe von 20 Personen sind heute 10 Leute krank. Wie viel Prozent sind das?

Bei dieser Aufgabe ist ebenfalls der Prozentsatz gesucht. Selbstverständlich können wir diesen mit einem Dreisatz oder der Formel ausrechnen. Ich möchte dir hier aber etwas anderes zeigen. Wenn 10 der 20 Personen krank sind, entspricht dies einem Verhältnis von 10:20 oder als Bruch geschrieben: [latex]\frac{10}{20}[/latex]. Hinweis: Jedes Divisionszeichen (:) lässt sich jederzeit als Bruchstrich (-) schreiben und umgekehrt.

Kürzt du diesen Bruch mit 10 bekommst du: [latex]\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=0.5[/latex]

0.5 ist aber das gleiche wie 50%. Offensichtlich sind 50% der Leute krank.

Merke dir:

Musst du in einer Aufgabe den Prozentsatz p% berechnen, kannst du einfach das Verhältnis zwischen Prozentwert und Grundwert bilden. Teile dazu den Prozentwert durch den Grundwert.

Dir ist sicher aufgefallen, dass das Bilden eines solchen Verhältnisses genau der Formel für den Prozentsatz entspricht: [latex]\textrm{p%}=\frac{\textrm{W}}{\textrm{G}}[/latex]

In unserer Eisbergaufgabe bedeutet dies: Du bildest das Verhältnis der 1602 m³ unter Wasser zu den 1800 m³ Gesamtvolumen: [latex]\frac{1602}{1800}=0.89=89\%[/latex]

Zu guter Letzt zeige ich dir noch die Rechenmethode, die kein Verständnis von Prozentrechnen voraussetzt. Diese Methode ist für all jene, die nur schnell was ausrechnen wollen und die Frage nach dem „weshalb“ gar nicht stellen:

4. Prozentsatz berechnen mit dem Online Prozentrechner

Einfach nur ausrechnen. Das kannst du mit meinem Online Prozentrechner kinderleicht tun:

Falls du andere Prozentgrössen ebenfalls online berechnen möchtest, findest hier Hilfe: Online Prozentrechner

Beispiele Prozentsatz berechnen

Versuche das eben Gelesene und Gelernte zu üben. Bei den folgenden drei Beispielen ist jeweils der Prozentsatz gesucht. Rechne diesen doch auf verschiedene Arten aus und kontrolliere, ob du alles richtig verstanden hast.

Beispiel 1:

Du verdienst im Monat einen Lohn von 2’400 €. Weil dein Chef mit deiner Arbeit zufrieden ist, erhältst du eine Lohnerhöhung von 300 €. Wie viel Prozent Lohnerhöhung sind das?

Lösung:
Die Gesamtheit resp. der Grundwert G sind die 2’400 € Lohn. Die 300 € Lohnerhöhung entsprechen dem Prozentwert W. Du willst also wissen, wie gross der Anteil der 300 € an den 2’400 € ist. Dazu rechnest du:
Prozentsatz p% = W/G = 300/2’400 = 0.125. Multiplikation mit 100 ergibt die Prozentzahl 12.5. Deine Lohnerhöhung beträgt demnach 12.5%.

Beispiel 2:

In der Abbildung unten siehst du 16 Personen, die in einer Reihe stehen. Wie viel Prozent…

1. … der abgebildeten Personen sind Männer?
2. … der Frauen tragen lange Hosen?
3. … der Personen verschränken ihre Arme nicht?

Lösung:

1. Insgesamt hat es 16 Personen abgebildet. Diese Zahl entspricht dem Grundwert G. Die 10 abgebildeten Männer sind der Prozentwert. Um den Prozentsatz zu berechnen, teilt man Prozentwert durch Grundwert: p% = W/G = 0.625. 62.5 Prozent der Personen sind demnach Männer.
2. Frauen hat es 6 im Bild (Grundwert). Von diesen sechs Frauen tragen 3 Frauen lange Hosen (Prozentwert). Der Prozentsatz beträgt: p% = W/G = 3/6 = 0.5. 50% der Frauen tragen lange Hosen.
3. Es gibt genau 2 Personen (Prozentwert) von den 16 Leuten (Grundwert), die die Arme nicht verschränken. Das sind p% = W/G = 0.125 oder 12.5%.

Beispiel 3:

Auf dem Bild sind 7 Sportler abgebildet. Wie viel Prozent…

1. … der Sportler haben einen Schläger in der Hand?
2. … der abgebildeten Personen halten in ihrer Hand einen Ball?
3. … der Sportler mit einem Helm auf dem Kopf tragen Schuhe mit Kufen?

Lösung:

1. Die 7 Personen bilden den Grundwert G. 3 Sportler halten einen Schläger in der Hand (Prozentwert). Der Anteil der 3 Personen an der Gesamtheit von 7 beträgt: W/G = 3/7 = 0.428. Damit haben 42.8% der Sportler einen Schläger in der Hand.
2. 2 der 7 Sportler halten einen Ball in der Hand. Die Prozentzahl berechnet sich gemäss Formel: p% = W/G * 100 = 2/7 * 100 = 28.5 oder eben 28.5%.
3. Im Bild gibt es 3 Sportler mit einem Helm auf dem Kopf. Das ist der Grundwert G. Von diesen 3 Sportlern trägt 1Person (W) Schuhe mit Kufen (der Hockey-Spieler). Der Prozentsatz berechnet sich folgendermassen: p% = W/G = 1/3 = 0.333. 33.3% der Sportler mit Helm tragen demnach Schuhe mit Kufen.

Machen wir einen Test zum Thema Prozentrechnen.

„25% aller Jugendlichen hatten in den letzten beiden Jahren Läuse auf dem Kopf. In deiner Klasse hat es 28 Personen. Wie viele waren vom Läusebefall betroffen?“

Suchst du gerade die richtige Formel für diese Rechnung?

Fragst du dich, was hier Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert sind? Möchtest du zur Formelsammlung und dem Taschenrechner greifen?

Falls ja, bist du einer von denen!

Einer von denen, die sich an die Formeln klammern: Du suchst dir die richtige Formel heraus und setzt alle Angaben aus der Aufgabe ein und hoffst, dass das richtige Resultat heraus kommt. Leider hat das wenig mit Verständnis zu tun. Du beherrschst das Prozentrechnen nicht, du bist vielmehr ein Sklave deiner Formel.

Du bist mit dieser Methode zufrieden? Dann lies auf keinen Fall weiter! Spar dir die Zeit. Verwende lieber meinen Online-Prozentrechner für deine Aufgaben.

Denn in den folgenden Zeilen erkläre ich dir, was Prozentrechnen bedeutet und wie du es anschaulich verstehen kannst. Die Eingangsaufgabe mit den Läusen wirst du kinderleicht ohne Formeln lösen können.

Das Problem beim Prozentrechnen

Ich erlebe es jeden Tag.

Wenn meine erwachsenen Schülerinnen und Schüler Prozentrechnen müssen, holen sie in der Regel die Formel-Keule hervor und schlagen ein paar mal wild um sich und hoffen dann, einen Treffer gelandet zu haben.

Das Problem bei dieser Methode: Formeln anwenden kann man ohne viel verstanden zu haben!

Wenn die gestellte Aufgabe nur ein wenig anders formuliert ist als gewohnt oder wenn du eine Weile nicht geübt hast, dann geht in der Regel gar nichts mehr.

Du beginnst bei jeder neuen Aufgabe von vorne!

Genau so, wie der berühmte Sisyphos aus der griechischen Sage, der als Strafe einen Stein den Berg hinauf rollen musste und jedes mal bevor er oben ankommt wieder nach unten rollt und die ganz Arbeit von vorne beginnt.

Prozentrechnen ohne Formeln

Befragt man 100 Personen nach ihren Essensvorlieben, geben 91 Personen an, dass sie Pizza mögen. 91 von 100 Leuten oder 91 pro 100 Personen, respektiv 91 “per cento” (italienisch für pro Hundert) d.h. 91 “Pro-Zent” oder eben 91% mögen Pizza.

Jedes Prozent-Zeichen (%) steht abkürzend für die Wörter „pro Hundert“.

Wenn man das weiss, vereinfacht sich das Prozentrechnen deutlich.

Ein Beispiel gefällig?

Rund 20% der Menschen shoppen regelmässig online. Das bedeutet demnach, dass 20 pro 100 Personen regelmässig online einkaufen gehen. In der folgenden Abbildung ist das dargestellt, indem 20 von 100 Kästchen grau eingefärbt sind.

Wenn 20 von 100 Personen online einkaufen, wie viele Online-Käufer hat es dann in einem Verein mit 25 Personen?

Die Frage ist also: Wie viel sind 20% von 25 Personen?

Wir rechnen die Gruppengrösse von Hundert Personen runter auf 25 Personen: Wenn 20 pro 100 Personen online shoppen, dann tun dies ebenfalls 10 pro 50 Personen. Diese Aussage lässt sich wiederum mit Kästchen illustrieren: 10 graue Kästchen pro 50 ist dasselbe wie 20 Graue pro 100 Kästchen.

Verkleinern wir die Gruppengrösse ein weiteres mal auf 25 Personen, dann stellen wir fest, dass 5 von jeweils 25 Personen online einkaufen. Dies ist genau gleich viel wie 20 pro 100. Oder nochmals in anderen Worten: 5 graue Kästchen pro 25 Felder ist genau gleich viel wie 20 graue Kästchen pro 100 Felder!

Bitte merke dir:

Ganz allgemein kann man sagen: Um den Anteil in einer neuen Gruppengrösse zu bestimmen, teilt man beide Zahlen durch die gleiche Anzahl.

In unserem Beispiel hiess das: 20 pro 100 ist das gleiche wie 5 pro 25. Wir haben beide Zahlen durch 5 geteilt.

Die Lösung unserer Aufgabe ist also:

20% von 25 sind 5 Personen.

Nocheinmal: 5 von 25 ist dasselbe wie 10 von 50 und das ist wiederum dasselbe wie 20 von 100!

In der Sprache der eingefärbten Kästchen: Eine Prozentzahl sagt immer aus, wie viele Kästchen pro 100 Kästchen grau eingefärbt sind.

Die Aufgabe: „Wie viel sind 20% von 25?“ kann man demnach folgendermassen verstehen: „Wenn 20 pro 100 Kästchen grau sind, wie viele Graue hat es dann pro 25 Kästchen?“

Der Super-Trick: Die Gruppe bestehend aus 1 Person

Das Vorgehen in obigem Beispiel hat einen Haken!

Die Zahlen gehen nicht immer so schön auf wie bei „20% von 25“. Die 100 Kästchen konnten wir ganz leicht auf 25 Kästchen runter rechnen (durch Teilen durch 4). Bei anderen Zahlen geht das nicht immer so schön auf. Wie man in einem solchen Fall vorgehen muss, soll an unserem „Läuse-Beispiel“ erkärt werden:

25% von 28 Personen haben Läuse. Wie viele Personen sind das?

Der Trick hier ist, dass wir eine “Gruppe” betrachten, die aus nur 1 Person besteht. Wir berechnen dann, wie viele Laus-Köpfe es anteilmässig in dieser 1er-Gruppe hat. Das klingt im ersten Moment komisch, ist aber – wie wir sehen werden – sehr nützlich:

25 pro 100 Personen hatten Läuse (25%). Das bedeutet, dass 5 pro 20 (beiden Zahlen  durch 5 teilen) oder 1 pro 4 Personen Läuse auf dem Kopf hatten (nochmals beide Zahlen durch 5 teilen).

Wenn  also 1 pro 4 Personen Läuse haben, dann hätten 0.5 Personen pro 2 Personen Läuse oder 0.25 pro 1 Person. Das untenstehende Bild mit den Kästchen illustriert dies: 0.25 graue Fläche pro Kästchen gibt gleich viel wie 25 ganz graue gefärbte Flächen pro 100 Kästchen.

Wir finden also heraus, dass es anteilsmässig 0.25 befallene Köpfe pro 1 Person gibt. Ausgehend davon können wir auf jede beliebige Gruppengrösse hochrechnen!

Wir wollten ursprünglich wissen, wie viele von den 28 Personen Läuse haben. Wenn es unter 1 Person 0.25 befallene Köpfe gibt, so hat es bei 28 Personen 28 mal so viel Lausbefälle. 28 mal 0.25 geben wir entweder im Rechner ein oder erkennen, dass dies dasselbe ist wie 28 mal 1/4 (ein Viertel). In beiden Fällen erhalten wir als Resultat 7.

25% von 28 Personen sind also 7 Personen mit Lausbefall.

Merke dir:

Wenn man weiss, wie gross der Anteil in einer Gruppengrösse von 1 ist, kann man diesen Anteil durch Multiplikation auf eine beliebige Gruppengrösse hochrechnen.

Prozentrechnen – Das Rezept

Natürlich möchte ich dir noch eine Anleitung mitgeben, wie du das eben gehörte schnell und einfach in der Praxis anwenden kannst.

Wir nehmen dazu nochmals das Lausbeispiel hervor. Um auszurechnen, wie viel 25% von 28 sind, müssen wir zuerst den Anteil in einer Gruppe bestehend aus 1 Person kennen. Dazu teilen wir die Prozentzahl ganz einfach durch 100. 25 pro 100 sind 0.25 pro 1 Person. Begründung: In einer 1er-Gruppe hat es immer 100mal weniger als in einer Gruppe mit 100.

Merke dir:

Um den Anteil in einer Gruppe bestehend aus 1 zu erhalten, muss die Prozentzahl ganz einfach durch 100 geteilt werden. Dieser Anteil wird dann mit der in der Aufgabe betrachteten Gruppengrösse multipliziert.

Alles klar?

Um sicher zu gehen, dass du das zu 100% richtig verstanden hast, machen wir noch ein Beispiel:

Wie viel sind 30% von 20?

30 pro 100 ist das gleiche wie 0.3 pro 1. Durch Teilen durch 100 haben wir sofort den Anteil in 1 erhalten. Wir multiplizieren 0.3 mit der betrachteten Gruppengrösse von 20 und erhalten dabei 6.

30% von 20 sind demnach 6.

Ging doch ganz leicht, oder?

Prozentrechnen – Wie weiter?

Die in diesem Artikel gemachten Überlegungen und Erklärungen sind elementar und wichtig für das Verständnis des Prozentrechnens.

Es gibt aber tatsächlich Methoden, die solche Berechnungen schneller und damit praxistauglicher machen.

Eine Einführung in die Prozentrechnung mit den Prozentformeln gebe ich dir hier: Prozentrechnung – Die Grundlagen im Prozentrechnen einfach erklärt

Egal mit welcher Methode du Prozentaufgaben lösen wirst; An der einfachen aber wahren Volksweisheit „Übung macht den Meister“ kommst du nicht vorbei. Wenn du ein wenig mehr über die Bedeutung vom Üben lesen willst, empfehle ich dir meinen Artikel: