Lexikon
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Verstehst du ein Wort nicht bei einer Aufgabe? Kein Problem! Hier findest du alle Fachausdrücke und Erklärungen, die du brauchst.
Was ist ein Bruch?
Ein Bruch ist eine Abbildung einer Zahl und besteht aus Zähler und Nenner. Zähler und Nenner sind ganze Zahlen \dfrac{Zähler}{Nenner}
Der Bruchstrich ist eine andere Schreibweise für eine Division (geteilt durch).
- Beispiel: \dfrac{3}{4}.
3 ist unser Zähler.
4 ist unser Nenner.
Die Division wäre also 3 : 4.
Zähler
Der Zähler im Bruch gibt die Anzahl an, wie viele Teile vorhanden sind.
Nenner
Der Nenner im Bruch gibt ihm seinen Namen(z.B. \dfrac{1}{3} = ein Drittel) und sagt uns, in wie viele Teile eine Zahl «zerschnitten» oder geteilt wird.
ACHTUNG! Der Nenner kann NIE 0 sein!
Wert
Der Wert eines Bruches ist das Ergebnis der Division, also der Dezimalbruch.
-
- Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern können deswegen den gleichen Wert haben. Dies ist beim Erweitern und Kürzen sehr wichtig. Dazu aber mehr unter Erweitern und Kürzen.
- Beispiel: der Wert von
- \dfrac{2}{4} =0.5
- \dfrac{1}{2}= 0,5
- \dfrac{8}{4} = 2
- \dfrac{10}{5}= 2
- \dfrac{5}{4} = 1.25
- \dfrac{25}{20} = 1.25
Gleichnamig machen
Zwei Brüche sind gleichnamig (oder gleich-nennrig), wenn ihre Nenner gleich ist (also die gleiche Zahl zeigt).
Dafür werden der Kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Zahlen gesucht.
Der kgV von 3 und 5 ist 15.
Also müssen wir bei \dfrac{2}{3} den Zähler und den Nenner mit 5 multiplizieren.
So entsteht der Bruch \dfrac{10}{15}
kgV
Der kgV ist der kleinste gemeinsame Vielfache von mehreren Zahlen.
Das bedeutet die kleinste Zahl, die aber durch beide Zahlen teilbar ist, sodass eine ganze Zahl dabei rauskommt.
Beispiel
- 3 und 5 → Die Überlegung ist nun, welche Zahl kann ich sowohl durch 3 und durch 5 teilen.
Ein Lösungsvorschlag wäre, die beiden Zahlen miteinander zu multiplizieren, da so eine Zahl berechnet wurde, die durch beide Zahlen teil bar ist.
- 3 * 5 = 15
- 15: 3 = 5
- 15: 5 = 3
Dieser Lösungsweg funktioniert sehr gut, wen die Zahlen sehr klein sind. Bei Grösseren geht das nicht.
- Beispiel 6 und 8
- 6 * 8 = 48
48 ist ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht das kleinste gemeinsame Vielfaches. Das kgV heisst 24.
- 24: 6 = 4
- 24: 8 = 3
Es gibt mehrere Wege, wie man auf das richtige Ergebnis kommen könnte. Mein Tipp ist es, sich von beiden Zahlen die ersten Vielfachen zu überlegen, dass heisst.
- Von 6 = 6, 12, 18, 24, 30
- Von 8 = 6, 16, 24, 32
Als Nächstes schaut man, welche Zahl bei beiden vorkommt. Die kleinste Zahl, die bei beiden aufgezählt wird, ist der kgV.
Kehrwert
Der Kehrwert eines Bruches bekommt man, wenn der Zähler und der Nenner den Platz tauschen, man also den Bruch auf den Kopf stellt.
Beispiel:
Kehrwert von \dfrac{4}{7} →\dfrac{7}{4}
Kürzen
Nenner und Zähler werden durch die gleiche Zahl dividiert.
\dfrac{6}{30} → durch 6 teilen → \dfrac{6 : 6}{30: 6}→ \dfrac{1}{5}
\dfrac{8}{16} → durch 2 teilen →\dfrac{8 : 2}{16:2} →\dfrac{4}{8}
→ kann noch mal durch 2 geteilt werden
→ \dfrac{4:2}{8:2} → \dfrac{2}{4}
→ kann noch mal durch 2 geteilt werden
→ \dfrac{2:2}{4:2} → \dfrac{1}{2}
-
- Bei diesem Beispiel sieht man das man 3-mal durch 2 teilen kann. Wir können aber auch einfach 1-mal durch 8 teilen, da 2*2* 2 = 8!
Vereinfachen
Wenn ein Bruch nicht kürzbar ist, kann er evtl. noch vereinfacht werde.
Wir schauen, wie viele Teile haben wir im Zähler. Wenn im Zähler mehr Teile sind als im Nenner, ist die Dezimalzahl grösser als 1. Also können wir die Dezimalzahl vor dem Bruch schreiben.
Beispiel → \dfrac{6}{5}.
Wir überlegen uns \dfrac{6}{5} wären im Kreismodel 1 Ganzer Kreis und \dfrac{1}{5} Stück. Also ist unsere vereinfachte Dezimalzahl 1 \dfrac{1}{5} oder 1,20.
Dezimalbruch
Eine Zahl mit einem Punkt oder Komma.
Dezimalbrüche werden in 3 Varianten unterschieden.
- Abbrechend.
- Periodisch.
- Gemischt periodisch.
Abbrechende Dezimalbrüche
Abbrechende Dezimalbrüche sind Zahlen, die ein Ende haben und sich gut in Brüche umwandeln lassen.
0,5 =\dfrac{5}{10}
→ kürzen →\dfrac{1}{2}
2.25=\dfrac{225}{100}
→ kürzen →\dfrac{9}{4}
→ vereinfachen→ 2 \dfrac{1}{4}
-3.6 = - \dfrac{36}{10}
→ kürzen → - \dfrac{18}{5}
→ vereinfachen→ -3 \dfrac{3}{5}
Periodische Dezimalbrüche
Periodische Dezimalbrüche sind Zahlen, die kein Ende haben, da sich eine Zahl am Ende immer wiederholt wird. Sie lassen sich gut in Brüche umwandeln.
\dfrac{5}{6} = 0.8\overline{3}
\dfrac{1}{6} = 0.1\overline{6}
Der Strich ‾ auf der Zahl bedeutet das die gleiche Zahl oder die Zahlenkombination immer wieder wiederholt wird.
0.83333333333333333333333333…
0.27272727272727272727272727…
→ Gelesen wird der Strich so:
Null Komma acht Periode drei.
Null Komma Periode zwei sieben.
Gemischte periodische Dezimalbrüche
Gemischte periodische Dezimalbrüche sind Zahlen, die kein Ende haben, da eine Zahlenkombination am Ende der Zahl immer wiederholt wird. Sie lassen sich gut in Brüche umwandeln.
-0.\overline{27} = - \dfrac{3}{11}
Unterschied gebrochene und ganze Zahlen.
Ganze Zahlen sind alle Zahlen, die komplett sind. Das heisst es ist kein Stück von ihnen abgebrochen. Ganze Zahlen gehen in den Positiven wie in den negativen Bereich. Beispiele für ganze Zahlen: -55, -20, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 20, etc.
Gebrochene Zahlen hingegen fehlt ein Teil oder haben eins zu viel. Sie lassen sich in abbrechende, periodische und gemischt periodische Dezimalbrüche unterscheiden.
Beispiele für gebrochene Zahlen:
0,5 = \dfrac{1}{2}
2.25 = \dfrac{225}{100}
9,87 = \dfrac{987}{100}
-3.6 = - \dfrac{36}{10} → - \dfrac{18}{5}
Grössenmodell
Die Darstellung von gebrochenen Zahlen und von Brüchen in verschiedenen Einheiten und Modellen.
Die bekanntesten Modelle sind:
- Streckenmodell,
- Flächenmodell,
- Kreismodell.
Streckenmodell
Die Darstellung von gebrochenen Zahlen und von Brüchen auf einer Strecke oder einem Pfeil
Siehe auch Zahlenstrahl
Flächenmodell
Die Darstellung von gebrochenen Zahlen und von Brüchen auf einer Fläche.
Kreismodell
Auch Kreisdiagramm oder Tortendiagramm genannt ist eine Schreibweise, um Etwas in Anteilen anzuzeigen. So können Brüche bildnerisch darstellen, was sie auf das Ganze gesehen bedeuten.
Das x-fach
Das Zehnfache von 3 ist eine andere Schreibweise von
10 * 3.
→ Also ist das Zehnfache von 3 = 30
Beispiele
→ Das Dreifache von 5 → 3*5= 15
→ Das Fünffache von 7 → 5*7= 35
Achtung Spezialfall!
- Anstatt zu dagegen das Zweifache wird oft der Ausdruck das Doppelte
- Das doppelte von 10 → 2*10 = 20
Ordnen
Zum Beispiel:
-
- Zahlen oder Elemente nach Ihren äusserlichen Merkmalen in Gruppen trennen,
- Brüche nach ihrem Wert auf den Zahlenstrahl eintragen, also sortieren
Zerlegen
Zerlegen ist ein anderes Wort, um zu sagen, das man ein zusammengesetztes Ganzes auseinandernimmt.
Beispiel:
-
- Zerlege den Kuchen in 8 gleich grosse Stücke und schreib den Wert der Stücke als Bruch.
Ein Kuchenstück ist \dfrac{1}{8} und hat den Wert 0.125